首页 > 已知a，b，c∈（0，+∞），满足abc（a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），当S取最小值时，c的最大值为______．-数学

已知a，b，c∈（0，+∞），满足abc（a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），当S取最小值时，c的最大值为______．-数学

题目简介

已知a，b，c∈（0，+∞），满足abc（a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），当S取最小值时，c的最大值为______．-数学

题目详情

已知a，b，c∈（0，+∞），满足abc（a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），当S取最小值时，c的最大值为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

∵a＞0，b＞0，c＞0，且abc（a+b+c）=1，
∴c2+c(a+b)=class="stub"1
ab

∴S=（a+c）（b+c）=ab+（a+b）c+c2=ab+class="stub"1
ab
≥2
ab•class="stub"1
ab
=2
当且仅当ab=class="stub"1
ab
即ab=1时取等号
∴Smin=2
此时1=abc（a+b+c）=c（a+class="stub"1
a
+c）=c2+(a+class="stub"1
a
)c≥c2+2c
∴c2+2c-1≤0
∵c＞0
∴0＜c≤
2
-1
∴c的最大值为
2
-1
故答案为：
2
-1

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