首页 > 试用两种方法证明：（1）C0n+C1n+…+Cnn=2n(n∈N*)；（2）C1n+2C2n+…+nCnn=n2n-1(n∈N*且n≥2)．-数学

试用两种方法证明：（1）C0n+C1n+…+Cnn=2n(n∈N*)；（2）C1n+2C2n+…+nCnn=n2n-1(n∈N*且n≥2)．-数学

题目简介

试用两种方法证明：（1）C0n+C1n+…+Cnn=2n(n∈N*)；（2）C1n+2C2n+…+nCnn=n2n-1(n∈N*且n≥2)．-数学

题目详情

试用两种方法证明：
（1）
C0n
+
C1n
+…+
Cnn
=2n(n∈N*)；
（2）
C1n
+2
C2n
+…+n
Cnn
=n2n-1(n∈N*且n≥2)．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：方法1：由(1+x)n=1+
C1n
x+…+
Cnn
xn(n∈N*)
令x=1，得
C0n
+
C1n
+…+
Cnn
=2n(n∈N*)．…（3分）
方法2：数学归纳法：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k时，
C0k
+
C1k
+…+
Ckk
=2k(k∈N*)，
则当n=k+1时，由
C0k+1
=C0k
，
Crk+1
=
Cr-1k
+
Crk
，
Ck+1k+1
=
Ckk
，
所以，
C0k+1
+
C1k+1
+
C2k+1
+…+
Ck+1k+1
=
C0k
+（
C0k
+C1k
）+（
C1k
+C2k
）+…+（
Ck-1k
+Ckk
）+
Ckk

=2（
C0k
+C1k
+…+
Ck-1k
+Ckk
=2•2k=2k+1，
由①②，等式对于任意n∈N*恒成立．…（7分）
（2）方法1：由于k
Ckn
=kclass="stub"n!
k!(n-k)!
=class="stub"n!
(n-k)!(k-1)!
，n
Ck-1n-1
=n
(n-1)!
(n-k)!(k-1)!
=class="stub"n!
(n-k)!(k-1)!
，
∴k
Ckn
=n
Ck-1n-1
，…（9分）
所以，
C1n
+2
C2n
+…+n
Cnn
=n
C0n-1
+n
C1n-1
+…+n
Cn-1n-1
=n（
C0n-1
+
C1n-1
+…+
Cn-1n-1
 ）=n2n-1．…（11分）
方法2：由 （1+x）n=1+
C1n
x+
C2n
x2+…+
Cnn
xn （n≥2，且 n∈N*），
两边求导，得 n（1+x）n-1=1+2
C2n
x+3
C3n
•x2+…+n
Cnn
xn-1，…（14分）
令x=1，得
C1n
+2
C2n
+…+n
Cnn
=n2n-1(n∈N*且n≥2)．…（15分）

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