首页 > (本小题满分12分)一几何体的三视图如图所示，,A1A=,AB=,AC=2,A1C1=1,在线段上且=.(I)证明:平面⊥平面；(II)求二面角的余弦值.-高二数学

(本小题满分12分)一几何体的三视图如图所示，,A1A=,AB=,AC=2,A1C1=1,在线段上且=.(I)证明:平面⊥平面；(II)求二面角的余弦值.-高二数学

题目简介

(本小题满分12分)一几何体的三视图如图所示，,A1A=,AB=,AC=2,A1C1=1,在线段上且=.(I)证明:平面⊥平面；(II)求二面角的余弦值.-高二数学

题目详情

(本小题满分12分) 一几何体的三视图如图所示，,A1A=,AB=,AC=2,A1C1=1,在线段上且=.
(I)证明:平面⊥平面；
(II)求二面角的余弦值.
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

(I)见解析(II)
方法一 ：由三视图可知几何体是底面以为直角，侧棱垂直底面的三棱台,      ---------2分


(I)证明 ∵A1A⊥平面ABC,BC平面ABC,
∴A1A⊥BC.
在Rt△ABC中,AB=,AC=2,∴BC=.
∵BD∶DC=1∶2,∴BD=.又==,
∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,
即AD⊥BC.
又A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD.
∵BC平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. --------7分
(II)解 如图①,作AE⊥C1C交C1C于E点,连接BE,由已知得AB⊥平面ACC1A1,
∴AE是BE在平面ACC1A1内的射影.
由三垂线定理知BE⊥CC1,
∴∠AEB为二面角A—CC1—B的平面角. 图①
过C1作C1F⊥AC交AC于F点,
则CF=AC-AF=1,
C1F=A1A=,∴∠C1CF=60°.
在Rt△AEC中,
AE=ACsin60°=2×=,
在Rt△BAE中,tan∠AEB===,
∴cos∠AEB=,              
即二面角A—CC1—B余弦值为  -------12分
方法二 (I) 证明 如图②,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),
A1(0,0,),C1(0,1, ).
∵BD∶DC=1∶2,∴=,
∴D点坐标为,
∴=, =(-,2,0),=(0,0,).
∵·=0，·=0，
∴BC⊥AA1，BC⊥AD.又A1A∩AD=A，
∴BC⊥平面A1AD.又BC平面BCC1B1，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
(II)解 ∵BA⊥平面ACC1A1，取m==(,0,0)为平面ACC1A1的法向量.
设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z),
则·n=0，·n=0，
∴
∴x=y，z=，可取y=1，则n=，
cos〈m,n〉=
=,
即二面角A—CC1—B的余弦值为.

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