如图,在四棱锥中,底面是正方形,底面,,点是的中点,,且交于点.(I)求证:平面;(II)求二面角的余弦值大小;(III)求证:平面⊥平面.-高三数学

题目简介

如图,在四棱锥中,底面是正方形,底面,,点是的中点,,且交于点.(I)求证:平面;(II)求二面角的余弦值大小;(III)求证:平面⊥平面.-高三数学

题目详情

如图,在四棱锥中,底面是正方形,底面, 点的中点,,且交于点 .
(I)求证:平面
(II)求二面角的余弦值大小;
(III)求证:平面⊥平面.
题型:解答题难度:偏易来源:不详

答案

(Ⅰ)证明见解析(II)二面角的余弦值为.(III)证明见解析
(Ⅰ)证明:连结,连结.
是正方形,∴的中点. ----------1分
的中点,∴的中位线. ∴. ----------2分
又∵平面平面,----------3分
平面.------------------4分
(II)如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系
故设,则
. ----------6分
底面
是平面的法向量,.----------7分
设平面的法向量为,
,
 即 
∴           令,则. ----------9分
,
∴二面角的余弦值为.------------------10分
(III)
----------11分
  又.----------12分
. 又平面   ----------13分
∴平面⊥平面.    ------------------14分

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