如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,AB=BC=,BB1=3,D为A1C1的中点,F在线段AA1上.(1)AF为何值时,CF⊥平面B1DF?(2)设AF=1,求平面B1CF与平

题目简介

如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,AB=BC=,BB1=3,D为A1C1的中点,F在线段AA1上.(1)AF为何值时,CF⊥平面B1DF?(2)设AF=1,求平面B1CF与平

题目详情

如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ABBC=BB1=3,DA1C1的中点,F在线段AA1上.
(1)AF为何值时,CF⊥平面B1DF
(2)设AF=1,求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案


(1)AF=1或2时,CF⊥平面B1DF
(2)锐二面角的余弦值
(1)因为直三棱柱ABCA1B1C1中,

 
BB1⊥面ABC,∠ABC
B点为原点,BABCBB1分别为xyz轴建立如图所示空间直角坐标系.
因为AC=2,∠ABC=90º,所以ABBC=,
从而B(0,0,0),ACB1(0,0,3),A1C1DE
所以
AFx,则F(,0,x),
.
,所以       
要使CF⊥平面B1DF,只需CFB1F.
=2+xx-3)=0,得x=1或x=2,
故当AF=1或2时,CF⊥平面B1DF.……………… 5分
(2)由(1)知平面ABC的法向量为n1=(0,0,1).    
设平面B1CF的法向量为,则由
z=1得
所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值
………………… 10分

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