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在数列{an}中，a1=16，数列{bn}是公差为-1的等差数列，且bn=log2an（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）在数列{bn}中，若存在正整数p，q使bp=q，bq=p（p＞q）

题目简介

在数列{an}中，a1=16，数列{bn}是公差为-1的等差数列，且bn=log2an（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）在数列{bn}中，若存在正整数p，q使bp=q，bq=p（p＞q）

题目详情

在数列{an}中，a1=16，数列{bn}是公差为-1的等差数列，且bn=log2an
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{bn}中，若存在正整数p，q使bp=q，bq=p（p＞q），求p，q得值；
（Ⅲ）若记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项的和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）数列{an}中，a1=16，数列{bn}是公差为-1的等差数列，且bn=log2an；
∴bn+1=log2an+1，∴bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2
an+1
an
=-1；
∴
an+1
an
=class="stub"1
2
，∴{an}是等比数列，通项公式为an=16×(class="stub"1
2
)n-1=(class="stub"1
2
)n-5；
∴{bn}的通项公式bn=log2an=log2(class="stub"1
2
)n-5=5-n；
（Ⅱ）数列{bn}中，∵bn=5-n，假设存在正整数p，q使bp=q，bq=p（p＞q），
则
5-p=q
5-q=p
p＞q
，解得
p=3
q=2
，或
p=4
q=1
；
（Ⅲ）∵an=(class="stub"1
2
)n-5，bn=5-n，∴cn=an•bn=（5-n）×(class="stub"1
2
)n-5；
∴{cn}的前n项和Sn=4×(class="stub"1
2
)-4+3×(class="stub"1
2
)-3+2×(class="stub"1
2
)-2+…+[5-（n-1）]×(class="stub"1
2
)(n-1)-5+（5-n）×(class="stub"1
2
)n-5①，
∴class="stub"1
2
sn=4×(class="stub"1
2
)-3+3×(class="stub"1
2
)-2+2×(class="stub"1
2
)-1+…+[5-（n-1）]×(class="stub"1
2
)n-5+（5-n）×(class="stub"1
2
)(n+1)-5②；
①-②得：class="stub"1
2
sn=4×(class="stub"1
2
)-4-(class="stub"1
2
)-3-(class="stub"1
2
)-2-(class="stub"1
2
)-1-…-(class="stub"1
2
)n-5-（5-n）×(class="stub"1
2
)n-4=64-
(class="stub"1
2
)-3-(class="stub"1
2
)n-4
1-class="stub"1
2
-（5-n）×(class="stub"1
2
)n-4=48+（n-3）×(class="stub"1
2
)n-4；
∴sn=96+（n-3）×(class="stub"1
2
)n-5．

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