已知ABCD是空间四边形形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果对角线AC=4，BD=2，那么EG2+HF2的值等于（）A．10B．15C．20D．25-数学

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已知ABCD是空间四边形形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果对角线AC=4，BD=2，那么EG²+HF²的值等于（　　）

A．10

B．15

C．20

D．25

题型：单选题难度：偏易来源：不详

答案

如下图所示
依次连接EF、FG、GH、HE
∵E是AB中点，H是AD中点，
∴EH∥BD，且EH=class="stub"1

BD=1
同理：
FG∥BD，FG=class="stub"1

BD=1
所以，EH∥FG，EH=FG
同理，EF∥HG，EF=HG
所以，四边形EFGH为边长为1、2的平行四边形
设∠EHG=θ，那么∠HEF=180°-θ
在△EHG中，由余弦定理有：
EG2=EH2+HG2-2×EH×HG×cosθ=1+4-4cosθ=5-4cosθ
在△EFH中，由余弦定理有：
FH2=EF2+EH2-2×EF×EH×cos（180°-θ）=4+1-4cos（180°-θ）=5+4cosθ
上述两式相加，得到：
EG2+FH2=5-4cosθ+5+4cosθ=10
故选A

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已知ABCD是空间四边形形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果对角线AC=4，BD=2，那么EG2+HF2的值等于（）A．10B．15C．20D．25-数学

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