首页 > 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角．（1）求证：CM

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角．（1）求证：CM

题目简介

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角．（1）求证：CM

题目详情

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角．
（1）求证：CM∥平面PAD；
（2）点C到平面PAD的距离．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

以点C为空间直角坐标系的坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD成的角，∴∠PBC=30°．
∵PC=2，∴BC=2
3
，PB=4，∴D（0，1，0），B （2
3
，0，0），A（2
3
，4，0），P（0，0，2），
M（
3
2
，0class="stub"3
2
 ）．∴
DP
=（0，-1，2），
DA
=（2
3
，3，0），
CM
=（
3
2
，0，class="stub"3
2
  ）． 
设平面PAD的法向量为
n
=（x，y，1），由
n
•
DP
=0，且
n
•
DA
=0 可得 x=-
3
，y=2，
∴
n
=（-
3
，2，1）．  又因为
n
•
CM
=（-
3
，2，1）•（
3
2
，0，class="stub"3
2
  ）=0，
∴
n
⊥
CM
，又因为 CM不在平面PAD内，∴CM∥平面PAD．
取AP的中点E，则 E（
3
，2，1），
BE
=（-
3
，2，1）因为PB=AB，∴
BE
⊥
AP
．
又因为
BE
•
DA
=（-
3
，2，1）•（2
3
，3，0）=0，∴
BE
⊥
DA
，∴
BE
⊥平面PAD；
∴BE平面PAD，又因为 BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
（2）由上面得
BE
⊥平面PAD，∴
BE
 是平面PAD的法向量，
∴平面PAD的单位法向量为
n0
=
BE
|
BE
|
=
(-3 ，2，1)
2
2
，又因为
CD
=（0，1，0），
∴点C到平面PAD的距离为 d=|
n0
•
CD
|=|
(-3 ，2，1)
2
2
•（0，1，0）|=
2
2
．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网