如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AC=BC=2，AA1=3，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；（Ⅱ）求点A1到面BDC1的距离．-数学

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如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AC=BC=2，AA₁=3，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁∥面BDC₁；
（Ⅱ）求点A₁到面BDC₁的距离． 360优课网

题型：解答题难度：中档来源：楚雄州模拟

答案

（Ⅰ）证明：连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C
的中点，∵D为AC中点∴OD∥A B1
又∵A B1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1
∴A B1∥平面BDC1-----------------------（6分）
（Ⅱ）在直角三角形BDC中过点C作BD的垂线，垂足为E，连接C1E．
∵AA1⊥平面ABC，AA1∥CC1
∴CC1⊥平面ABC 又∵BD⊂平面ABC∴CC1⊥BD
∴BD⊥平面C1CE∴BD⊥C1E
在Rt△CBD中，BD=

DC2+CB2

，CE=class="stub"BC•DC

=class="stub"2

在Rt△C1CE中，C1E=

C1E2+CE2

32+class="stub"4

=class="stub"7

---------（10分）
∵V三棱锥B-A1DC1=V三棱锥A1-BDC1
设点A1到面BDC1的距离为h，则有S△C1BD•h=S△A1DC1•BC
所以h=class="stub"3×2

class="stub"1

×class="stub"7

=class="stub"12

---------（12分）

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如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AC=BC=2，AA1=3，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；（Ⅱ）求点A1到面BDC1的距离．-数学

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