首页 > 如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°．（1）求AC1的长；（2）求BD1与AC夹角的余弦值．-数学

如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°．（1）求AC1的长；（2）求BD1与AC夹角的余弦值．-数学

题目简介

如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°．（1）求AC1的长；（2）求BD1与AC夹角的余弦值．-数学

题目详情

如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°．
（1）求AC1的长；
（2）求BD1与AC夹角的余弦值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

设
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AA1
=
c
，则两两夹角为60°，且模均为1．
（1）
AC1
=
AC
+
CC1
=
AB
+
AD
+
AA1
=
a
+
b
+
c
．
∴|
AC1
|2=（
a
+
b
+
c
）2=|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2+2
a
•
b
+2
b
•
c
+2
a
•
c

=3+6×1×1×class="stub"1
2
=6，
∴|
AC1
|=
6
，即AC1的长为
6
．
（2）
BD1
=
BD
+
DD1
=
AD
-
AB
+
AA1
=
b
-
a
+
c
．
∴
BD1
•
AC
=（
b
-
a
+
c
）•（
a
+
b
）
=
a
•
b
-
a
2+
a
•
c
+
b
2-
a
•
b
+
b
•
c

=1．
|
BD1
|=
(
b
-
a
+
c
)2
=
2
，|
AC
|=
(
a
+
b
)2
=
3
，
∴cos＜
BD1
，
AC
＞=
BD1
•
AC
|
BD1
|•|
AC
|
=class="stub"1
2
×
3
=
6
6
．
∴BD1与AC夹角的余弦值为
6
6
．

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