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解关于x的不等式ax2ax-1＞x（a∈R）．-数学

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解关于x的不等式ax2ax-1＞x（a∈R）．-数学

题目详情

解关于x的不等式

ax2

ax-1

＞x（a∈R）．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解法一：由

ax2

ax-1

＞x，得

ax2

ax-1

-x＞0，即class="stub"x

ax-1

＞0．
此不等式与x（ax-1）＞0同解．
若a＜0，则class="stub"1

a

＜x＜0；
若a=0，则x＜0；
若a＞0，则x＜0或x＞class="stub"1

a

．
综上，a＜0时，原不等式的解集是（class="stub"1

a

，0）；
a=0时，原不等式的解集是（-∞，0）；
a＞0时，原不等式的解集是（-∞，0）∪（class="stub"1

a

，+∞）．
解法二：由

ax2

ax-1

＞x，得

ax2

ax-1

-x＞0，即class="stub"x

ax-1

＞0．
此不等式与x（ax-1）＞0同解．
显然，x≠0．
（1）当x＞0时，得ax-1＞0．
若a＜0，则x＜class="stub"1

a

，与x＞0矛盾，
∴此时不等式无解；
若a=0，则-1＞0，此时不等式无解；
若a＞0，则x＞class="stub"1

a

．
（2）当x＜0时，得ax-1＜0．
若a＜0，则x＞，得class="stub"1

a

＜x＜0；
若a=0，则-1＜0，得x＜0；
若a＞0，则x＜class="stub"1

a

，得x＜0．
综上，a＜0时，原不等式的解集是（class="stub"1

a

，0）；
a=0时，原不等式的解集是（-∞，0）；
a＞0时，原不等式的解集是（-∞，0）∪（class="stub"1

a

，+∞）．

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