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如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0相交于M、N两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，动点P（a，b）在不等式组kx-y+2≥0kx-my≤0y≥0表示的平面区域的内部及边界上运动

题目简介

如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0相交于M、N两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，动点P（a，b）在不等式组kx-y+2≥0kx-my≤0y≥0表示的平面区域的内部及边界上运动

题目详情

如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0相交于M、N两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，动点P（a，b）在不等式组
kx-y+2≥0
kx-my≤0
y≥0
表示的平面区域的内部及边界上运动，则
（1）不等式组所确定的平面区域的面积为1；
（2）使得目标函数z=b-a取得最大值的最优解有且仅有一个；
（3）目标函数ω=
b-2
a-1
的取值范围是[-2，2]；
（4）目标函数p=a2+b2-2b+1的最小值是
1
2
．
上述说法中正确的是______（写出所有正确选项）
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案


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∵M、N两点，关于直线x+y=0对称，
∴k=1，又圆心(-class="stub"k
2
，-class="stub"m
2
)在直线x+y=0上
∴-class="stub"k
2
-class="stub"m
2
=0
∴m=-1
∴原不等式组变为
x-y+2≥0
x+y≤0
y≥0
作出不等式组表示的平面区域，
（1）△AOB为不等式所表示的平面区域，
联立
y=-x
y=x+2
解得B（-1，1），A（-2，0），
所以S△AOB=class="stub"1
2
×|-2|×|-1|=1．
故（1）正确；
（2）作出目标函数z=b-a平行的直线，将其平移
当直线z=b-a过直线x-y+2=0上的任一点时，z最大，
故（2）错；
（3）如图
又因为ω=class="stub"b-2
a-1
表示点P（a，b）与点（1，2）连线的斜率．
故当过点B（-1，1）时，ω=class="stub"b-2
a-1
取最小值-class="stub"1
2
．
当过O（0，0）时，ω=class="stub"b-2
a-1
取最大值2．
故答案为：[-class="stub"1
2
，2]．故（3）错；
（4）p=a2+b2-2b+1=a2+（b-1）2-表示区域内的点N到点M（0，1）的距离的平方，
由图得：只有当过M作直线x+y=0的垂线时，M（0，1）到平面区域内任一点的距离才最小．
而M与直线x+y=0的距离为：d=
|0+1|
12+12
=class="stub"1
2
．
∴|d|2=class="stub"1
2
．即目标函数p=a2+b2-2b+1的最小值是class="stub"1
2
．
故（4）正确．
故答案为：（1），（4）．

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