三棱柱ABC-A1B1C1中,M、N分别是A1B、B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设AB=a,AC=b,AA1=c.(Ⅰ)试用a,b,c表示向量MN;(Ⅱ)若∠BAC=90°,∠B

题目简介

三棱柱ABC-A1B1C1中,M、N分别是A1B、B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设AB=a,AC=b,AA1=c.(Ⅰ)试用a,b,c表示向量MN;(Ⅱ)若∠BAC=90°,∠B

题目详情

三棱柱ABC-A1B1C1中,M、N分别是A1B、B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设
AB
=
a
AC
=
b
AA1
=
c

(Ⅰ)试用
a
b
c
表示向量
MN

(Ⅱ)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)由图形知
MN
=
MA1
+
A1B1
+
B1N
=class="stub"1
3
BA1
+
AB
+class="stub"1
3
B1C1
=class="stub"1
3
(
c
-
a
)+
a
+class="stub"1
3
(
b
-
a
)=class="stub"1
3
a
+class="stub"1
3
b
+class="stub"1
3
c

(Ⅱ)由题设条件
(
a
+
b
+
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+2
a
b
+2
b
c
+2
a
c
=1+1+1+0+2×1×1×class="stub"1
2
+2×1×1×class="stub"1
2
=5

|
a
+
b
+
c
|=
5
|
MN
|=class="stub"1
3
|
a
+
b
+
c
=|
5
3

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