如图:已知平面//平面,点A、B在平面内,点C、D在平面内,直线AB与CD是异面直线,点E、F、G、H分别是线段AC、BC、BD、AD的中点。求证:(Ⅰ)E、F、G、H四点共面;(Ⅱ)平面EFGH∥平

题目简介

如图:已知平面//平面,点A、B在平面内,点C、D在平面内,直线AB与CD是异面直线,点E、F、G、H分别是线段AC、BC、BD、AD的中点。求证:(Ⅰ)E、F、G、H四点共面;(Ⅱ)平面EFGH∥平

题目详情

如图:已知平面//平面,点A、B在平面内,点C、D在平面内,直线AB与CD是异面直线,点E、F、G、H分别是线段AC、BC、BD、AD的中点。
求证:(Ⅰ)E、F、G、H四点共面;
(Ⅱ)平面EFGH∥平面
题型:证明题难度:中档来源: 期中题

答案

证明:(Ⅰ)∵点E、F是线段AC、BC的中点,
∴EF∥AB,
又∵G、H是线段BD、AD的中点,
∴GH∥AB,
∴EF∥GH,
所以,E、F、G、H四点共面。
(Ⅱ)∵平面∥平面,点A、B在平面内,
∴AB∥平面
设平面ABC与平面的交线为CP,
∵直线AB与CD是异面直线,
∴CP与CD是交线,
∵AB//平面
∴AB//CP, 又EF∥AB,
∴EF∥CP,
∴EF∥平面
∵点E、H是线段AC、AD的中点,
∴EH∥CD,
∴EH∥平面
所以,平面EFGH∥平面

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