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> 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC.(Ⅰ)求a和b的夹角θ的余弦值;(Ⅱ)若向量ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值;(Ⅲ)若向量λa-
已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC.(Ⅰ)求a和b的夹角θ的余弦值;(Ⅱ)若向量ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值;(Ⅲ)若向量λa-
题目简介
已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC.(Ⅰ)求a和b的夹角θ的余弦值;(Ⅱ)若向量ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值;(Ⅲ)若向量λa-
题目详情
已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设
a
=
AB
,
b
=
AC
.
(Ⅰ)求
a
和
b
的夹角θ的余弦值;
(Ⅱ)若向量
k
a
+
b
与
k
a
-2
b
互相垂直,求实数k的值;
(Ⅲ)若向量
λ
a
-
b
与
a
-λ
b
共线,求实数λ的值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
a
=
AB
=(1,1,0)
,
b
=
AC
=(-1,0,2)
.
(Ⅰ)
cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
class="stub"-1+0+0
2
×
5
=-
10
10
,
∴
a
和
b
的夹角θ的余弦值为
-
10
10
.
(Ⅱ)
k
a
+
b
=(k-1,k,2)
,
k
a
-2
b
=(k+2,k,-4)
∵向量
k
a
+
b
与
k
a
-2
b
互相垂直,
∴
(k
a
+
b
)•(k
a
-2
b
)=(k-1,k,2)•(k+2,k,-4)
=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0
∴
k=-
class="stub"5
2
,或k=2.
(Ⅲ)
λ
a
-
b
=(λ+1,λ,-2)
,
a
-λ
b
=(1+λ,1,-2λ)
∵向量
λ
a
-
b
与
a
-λ
b
共线,∴存在实数μ,使得
λ
a
-
b
=μ(
a
-λ
b
)
即(λ+1,λ,-2)=μ(1+λ,1,-2λ)∴
λ+1=μ(λ+1)
λ=μ
-2=-2μλ
∴λ=1,或λ=-1.
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设空间两个不同的单位向量a=(x
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若a=(1,λ,2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为60
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题目简介
已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC.(Ⅰ)求a和b的夹角θ的余弦值;(Ⅱ)若向量ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值;(Ⅲ)若向量λa-
题目详情
(Ⅰ)求
(Ⅱ)若向量k
(Ⅲ)若向量λ
答案
(Ⅰ)cosθ=
∴
(Ⅱ) k
∵向量k
∴(k
∴k=-
(Ⅲ) λ
∵向量λ
即(λ+1,λ,-2)=μ(1+λ,1,-2λ)∴
∴λ=1,或λ=-1.