已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC.(Ⅰ)求a和b的夹角θ的余弦值;(Ⅱ)若向量ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值;(Ⅲ)若向量λa-

题目简介

已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC.(Ⅰ)求a和b的夹角θ的余弦值;(Ⅱ)若向量ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值;(Ⅲ)若向量λa-

题目详情

已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设
a
=
AB
b
=
AC

(Ⅰ)求
a
b
的夹角θ的余弦值;
(Ⅱ)若向量k
a
+
b
k
a
-2
b
互相垂直,求实数k的值;
(Ⅲ)若向量λ
a
-
b
a
b
共线,求实数λ的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

a
=
AB
=(1,1,0)
b
=
AC
=(-1,0,2)
.      
(Ⅰ)cosθ=
a
b
|
a
|•|
b
|
=class="stub"-1+0+0
2
×
5
=-
10
10

a
b
的夹角θ的余弦值为-
10
10

(Ⅱ) k
a
+
b
=(k-1,k,2)
k
a
-2
b
=(k+2,k,-4)

∵向量k
a
+
b
k
a
-2
b
互相垂直,
(k
a
+
b
)•(k
a
-2
b
)=(k-1,k,2)•(k+2,k,-4)
=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0
k=-class="stub"5
2
,或k=2.
(Ⅲ) λ
a
-
b
=(λ+1,λ,-2)
a
b
=(1+λ,1,-2λ)

∵向量λ
a
-
b
a
b
共线,∴存在实数μ,使得λ
a
-
b
=μ(
a
b
)

即(λ+1,λ,-2)=μ(1+λ,1,-2λ)∴
λ+1=μ(λ+1)
λ=μ
-2=-2μλ

∴λ=1,或λ=-1.

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