首页 > 已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设a=AB，b=AC．（Ⅰ）求a和b的夹角θ的余弦值；（Ⅱ）若向量ka+b与ka-2b互相垂直，求实数k的值；（Ⅲ）若向量λa-

已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设a=AB，b=AC．（Ⅰ）求a和b的夹角θ的余弦值；（Ⅱ）若向量ka+b与ka-2b互相垂直，求实数k的值；（Ⅲ）若向量λa-

题目简介

已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设a=AB，b=AC．（Ⅰ）求a和b的夹角θ的余弦值；（Ⅱ）若向量ka+b与ka-2b互相垂直，求实数k的值；（Ⅲ）若向量λa-

题目详情

已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设
a
=
AB
，
b
=
AC
．
（Ⅰ）求
a
和
b
的夹角θ的余弦值；
（Ⅱ）若向量k
a
+
b
与k
a
-2
b
互相垂直，求实数k的值；
（Ⅲ）若向量λ
a
-
b
与
a
-λ
b
共线，求实数λ的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

a
=
AB
=(1，1，0)，
b
=
AC
=(-1，0，2)．      
（Ⅰ）cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=class="stub"-1+0+0
2
×
5
=-
10
10
，
∴
a
和
b
的夹角θ的余弦值为-
10
10
．
（Ⅱ） k
a
+
b
=(k-1，k，2)，k
a
-2
b
=(k+2，k，-4)
∵向量k
a
+
b
与k
a
-2
b
互相垂直，
∴(k
a
+
b
)•(k
a
-2
b
)=(k-1，k，2)•(k+2，k，-4)=（k-1）（k+2）+k2-8=2k2+k-10=0
∴k=-class="stub"5
2
，或k=2．
（Ⅲ） λ
a
-
b
=(λ+1，λ，-2)，
a
-λ
b
=(1+λ，1，-2λ)
∵向量λ
a
-
b
与
a
-λ
b
共线，∴存在实数μ，使得λ
a
-
b
=μ(
a
-λ
b
)
即（λ+1，λ，-2）=μ（1+λ，1，-2λ）∴
λ+1=μ(λ+1)
λ=μ
-2=-2μλ

∴λ=1，或λ=-1．

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