已知不等式2|x-3|+|x-4|<2a.(Ⅰ)若a=1,求不等式的解集;(Ⅱ)若已知不等式的解集不是空集,求a的取值范围.-数学

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已知不等式2|x-3|+|x-4|<2a.(Ⅰ)若a=1,求不等式的解集;(Ⅱ)若已知不等式的解集不是空集,求a的取值范围.-数学

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已知不等式2|x-3|+|x-4|<2a.
(Ⅰ)若a=1,求不等式的解集;
(Ⅱ)若已知不等式的解集不是空集,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:商丘三模

答案

(Ⅰ)对于不等式 2|x-3|+|x-4|<2,
①若x≥4,则3x-10<2,x<4,∴舍去.
②若3<x<4,则x-2<2,∴3<x<4.
③若x≤3,则10-3x<2,∴class="stub"8
3
<x≤3.
综上,不等式的解集为{x|class="stub"8
3
<x<4}
. …(5分)
(Ⅱ)设f(x)=2|x-3|+|x-4|,则f(x)=
3x-10 , x≥4
x-2 , 3<x<4
10-3x , x≤3
,∴f(x)≥1.
要使不等式的解集不是空集,2a大于f(x)的最小值,
故 2a>1,∴a>class="stub"1
2

即a的取值范围(class="stub"1
2
,+∞).  …(10分)

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