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设a＞0，a≠1，解关于x的不等式ax4-2x2＞(1a)a2.-数学

题目简介

设a＞0，a≠1，解关于x的不等式ax4-2x2＞(1a)a2.-数学

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设a＞0，a≠1，解关于x的不等式ax4-2x2＞(
1
a
)a2.
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解法一原不等式可写成ax4-2x2＞a-a2．①
根据指数函数性质，分为两种情形讨论：
（Ⅰ）当0＜a＜1时，由①式得
x4-2x2+a2＜0，②
由于0＜a＜1时，判别式
△=4-4a2＞0，
所以②式等价于
③④
x2＞1-
1-a2
x2＜1+
1-a2
.

解③式得x＜-
1-
1-a2
或x＞
1-
1-a2
，
解④式得-
1+
1-a2
＜x＜
1+
1-a2
．
所以，0＜a＜1时，原不等式的解集为
{x|-
1+
1-a2
＜x＜-
1-
1-a2
}∪{x|
1-
1-a2
＜x＜
1+
1-a2
}．
（Ⅱ）当a＞1时，由①式得
x4-2x2+a2＞0，⑤
由于a＞1，判别式△＜0，故⑤式对任意实数x成立，即得原不等式的解集为R
综合得
当0＜a＜1时，原不等式的解集为
{x|-
1+
1-a2
＜x＜-
1-
1-a2
}∪{x|
1-
1-a2
＜x＜
1+
1-a2
}；
当a＞1时，原不等式的解集为R．
解法二原不等式可写成ax4-2x2＞a-a2．①
（Ⅰ）当0＜a＜1时，由①式得
x4-2x2+a2＜0，②
分解因式得（x2-1+
1-a2
）（x2-1-
1-a2
）＜0．③
④⑤
即
x2-1+
1-a2
＞0
x2-1-
1-a2
＜0

⑥⑦
或
x2-1+
1-a2
＜0
x2-1-
1-a2
＞0.

解由④、⑤组成的不等式组得
-
1+
1-a2
＜x＜-
1-
1-a2
．
或
1-
1-a2
＜x＜
1+
1-a2
．
由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，0＜a＜1时，原不等式的解集为
{x|-
1+
1-a2
＜x＜-
1-
1-a2
}∪{x|
1-
1-a2
＜x＜
1+
1-a2
}；
（Ⅱ）当a＞1时，由①式得
x4-2x2+a2＞0，⑧
配方得（x2-1）2+a2-1＞0，⑨
对任意实数x，不等式⑨都成立，即a＞1时，原不等式的解集为
{x|-∞＜x＜+∞}．
综合得
当0＜a＜1时，原不等式的解集为
{x|-
1+
1-a2
＜x＜-
1-
1-a2
}∪{x|
1-
1-a2
＜x＜
1+
1-a2
}；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|-∞＜x＜+∞}．

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