(Ⅰ)已知a,b∈R且a>0,b>0,求证:a2b+b2a≥a+b;(Ⅱ)求函数y=(1-x)2x+x21-x(0<x<1)的最小值.-数学

题目简介

(Ⅰ)已知a,b∈R且a>0,b>0,求证:a2b+b2a≥a+b;(Ⅱ)求函数y=(1-x)2x+x21-x(0<x<1)的最小值.-数学

题目详情

(Ⅰ)已知a,b∈R且a>0,b>0,求证:
a2
b
+
b2
a
≥a+b

(Ⅱ)求函数y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
(0<x<1)的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)【证法1】:∵
a2
b
+
b2
a
-(a+b)=
a3+b3-a2b-ab2
ab
=
a3-a2b-(ab2-b3)
ab
=
a2(a-b)-b2(a-b)
ab
=
(a-b)2(a+b)
ab

∵a>0,b>0,∴
(a-b)2(a+b)
ab
≥0,当且仅当a=b时等号成立.
a2
b
+
b2
a
≥a+b

【证法2】:∵a>0,b>0,∴(a+b)(
a2
b
+
b2
a
)=a2+b2+
a3
b
+
b3
a
a2+b2+2ab=(a+b)2

a2
b
+
b2
a
≥a+b
,当且仅当a=b时等号成立.
(Ⅱ)∵0<x<1,∴1-x>0,由(Ⅰ)的结论
函数y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
≥(1-x)+x=1,当且仅当1-x=x即x=class="stub"1
2
时等号成立,
∴函数y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
(0<x<1)
的最小值为1.

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