设z是虚数，ω=z+1z，且-1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=1-z1+z，求证：u为纯虚数．-数学

题目简介

设z是虚数，ω=z+

，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）设u=

1-z

1+z

，求证：u为纯虚数．

题型：解答题难度：中档来源：不详

设z=x+yi（x，y∈R，y≠0）
（1）ω=z+class="stub"1

=(x+class="stub"x

x2+y2

)+(y-class="stub"y

x2+y2

)i
∵-1＜ω＜2，∴y-class="stub"y

x2+y2

=0，
又∵y≠0，∴x2+y2=1即|z|=1
∵-1＜x+class="stub"x

x2+y2

＜2⇒-1＜2x＜2，
∴-class="stub"1

＜x＜1
即z的实部的取值范围是(-class="stub"1

，1)
（2）u=class="stub"1-z

1+z

(1-x-yi)(1+x-yi)

(1+x)2+y2

(1-x2-y2)-2yi

(1+x)2+y2

∵x2+y2=1，∴u=class="stub"-2y

(1+x)2+y2

i
又∵y≠0，
∴u是纯虚数．