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已知：函数f(x)=2x+33x，数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f(1an-1)，a1=1；（1）求{an}的通项公式．（2）求和：Sn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+（-1）n

题目简介

已知：函数f(x)=2x+33x，数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f(1an-1)，a1=1；（1）求{an}的通项公式．（2）求和：Sn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+（-1）n

题目详情

已知：函数f(x)=
2x+3
3x
，数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f(
1
an-1
)，a1=1；
（1）求{an}的通项公式．
（2）求和：Sn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+（-1）n-1anan+1
（3）若数列{bn}满足：①{bn}为{
1
an
}的子数列（即{bn}中的每一项都是{
1
an
}的项，且按在{
1
an
}中的顺序排列）②{bn}为无穷等比数列，它的各项和为
1
2
．这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由f(x)=class="stub"2x+3
3x
，又an=f(class="stub"1
an-1
)=
class="stub"2
an-1
+3
class="stub"3
an-1
=
2+3an-1
3
=an-1+class="stub"2
3
（2分）
所以，{an}是以a1=1为首项，class="stub"2
3
为公差的等差数列，即an=class="stub"2n+1
3
（n∈N*）（4分）
（2）当n为偶数，an-1an-anan+1=an(an-1-an+1)=-2dan=-class="stub"4
3
an
所以 Sn=-class="stub"4
3
(a2+a4+…an)=-class="stub"4
3
a2+an
2
class="stub"n
2
=-class="stub"2
9
n2-class="stub"2
3
n（6分）
当n为奇数，则n-1为偶数，Sn=Sn-1+anan+1=-class="stub"2
9
(n-1)2-class="stub"2
3
(n-1)+class="stub"2n+1
3
class="stub"2n+3
3
=
2n2+6n+7
9
（8分）
综上：Sn=
-class="stub"2
9
n2-class="stub"2
3
nn为偶数
2n2+6n+7
9
n为奇数
（10分）
（3）设b1=class="stub"3
2k+1
，公比q=class="stub"1
m
＞0，则b1qn=class="stub"3
2k+1
•class="stub"1
mn
=class="stub"3
2p+1
（k，p∈N*）对任意的n∈N*均成立，故m是正奇数，又S存在，所以m＞1（12分）
当m=3时，S=class="stub"1
2
，此时b1=class="stub"3
9
，bn=class="stub"3
3n+1
，成立                 （13分）
当m=5时，S=class="stub"1
2
，此时b1=class="stub"2
5
∉{class="stub"1
an
}故不成立                   （14分）
m=7时，S=class="stub"1
2
，此时b1=class="stub"3
7
，bn=class="stub"3
7n
，成立                    （15分）
当m≥9时，1-class="stub"1
m
≥class="stub"8
9
，由S=class="stub"1
2
，得b1≥class="stub"4
9
，设b1=class="stub"3
2k+1
，则k≤class="stub"23
8
，又因为k∈N*，所以k=1，2，此时b1=1或b1=class="stub"3
5
分别代入S=
b1
1-q
=class="stub"1
2
，得到q＜0不合题意（18分）
由此，满足条件（3）的{bn}只有两个，即bn=class="stub"3
3n+1
或bn=class="stub"3
7n
（20分）

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