首页 > 已知复数z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，|z1-z2|=1．（1）求cos（α-β）的值；（2）若-π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ=-35，求sinα的值．-数学

已知复数z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，|z1-z2|=1．（1）求cos（α-β）的值；（2）若-π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ=-35，求sinα的值．-数学

题目简介

已知复数z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，|z1-z2|=1．（1）求cos（α-β）的值；（2）若-π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ=-35，求sinα的值．-数学

题目详情

已知复数z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，|z1-z2|=1．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若-
π
2
＜β＜0＜α＜
π
2
，且sinβ=-
3
5
，求sinα的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵复数z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，|
∴z1-z2=（cosα-cosβ）+i（sinα-sinβ），
又∵|z1-z2|=1，
∴
(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2
=1，
化简得
2-2cosαcosβ-2sinαsinβ
=1
2-2cos（α-β）=1
∴cos(α-β)=class="stub"2-1
2
=class="stub"1
2
．
（2）∵-class="stub"π
2
＜β＜0＜α＜class="stub"π
2
，所以0＜α-β＜π，
由（1）得cos(α-β)=class="stub"1
2
，∴sin（α-β）=
3
2

又∵sinβ=-class="stub"3
5
，-class="stub"π
2
＜β＜class="stub"π
2
，
∴cosβ=class="stub"4
5
.
∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
=
3
2
×class="stub"4
5
+class="stub"1
2
×(-class="stub"3
5
)=
4
3
-3
10

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