如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长和侧棱长都等于2,平面A1ACC1⊥平面ABCD,∠ABC=∠A1AC=60°,点O为底面对角线AC与BD的交点。(1)证明:A1O⊥平面ABCD;(2

题目简介

如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长和侧棱长都等于2,平面A1ACC1⊥平面ABCD,∠ABC=∠A1AC=60°,点O为底面对角线AC与BD的交点。(1)证明:A1O⊥平面ABCD;(2

题目详情

如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长和侧棱长都等于2,平面A1ACC1⊥平面ABCD,∠ABC=∠A1AC=60°,点O为底面对角线AC与BD 的交点。
(1)证明:A1O⊥平面ABCD;
(2)求二面角D-A1A-C的平面角的正切值。
题型:解答题难度:中档来源:湖北省模拟题

答案

解:(1)由已知AB=BC=2,∠ABC=60°,
则△ABC为正三角形,
所以AC=2
因为点O为AC的中点,
所以AO=1
又AA1=2,∠A1AO=60°,
在△A1OA中,由余弦定理,得

所以
所以A1O⊥AC
因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,其交线为AC,
所以A1O⊥平面ABCD。
(2)因为底面ABCD为菱形,
∴BD⊥AC
又BD⊥A1O,
∴BD⊥平面A1ACC1
如图,过点O作OE⊥AA1,垂足为E,
连接DE,则AA1⊥DE,
所以∠DEO为二面角D-AA1-C的平面角,
在Rt△AOD中,
在Rt△AEO中,
在Rt△DOE中,
故二面角D-AA1-C的平面角的正切值为2。

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