如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥侧面AA1C1C,AC=BC=1,CC1=2,,D为AA1的中点。(1)求证:A1C⊥平面ABC;(2)截面BDC1将三棱柱分成两部分,其体积分别是V1,V2

题目简介

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥侧面AA1C1C,AC=BC=1,CC1=2,,D为AA1的中点。(1)求证:A1C⊥平面ABC;(2)截面BDC1将三棱柱分成两部分,其体积分别是V1,V2

题目详情

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥侧面AA1C1C,AC=BC=1,CC1=2,,D为AA1的中点。
(1)求证:A1C⊥平面ABC;
(2)截面BDC1将三棱柱分成两部分,其体积分别是V1,V2,求V1:V2
题型:解答题难度:中档来源:山东省模拟题

答案

解:(1)∵BC⊥侧面AA1C1C,A1C面AA1C1C,
∴BC⊥A1C
在△AA1C中,AC=1,AA1=CC1=2,
由余弦定理得A1C2=AC2+AA12-2AC·AA1cos∠CAA1

所以
故有
所以AC⊥A1C,
而AC∩BC=C,
∴A1C⊥平面ABC。
(2)∵BC⊥侧面AA1C1C,
∴BC⊥AC,
故Rt△ABC的面积
由(1)知A1C⊥平面ABC,
∴棱柱ABC- A1B1C1的体积

截面BDC1将三棱柱分成两部分,设V1对应的是四棱锥B-ADC1C
如图,过点C作CE⊥AD,垂足为E
在Rt△CAE中,CE=AC·sin∠CAE=
所以梯形ADC1C的面积为
 
∵BC⊥侧面AA1C1C,
∴四棱锥B-ADC1C的体积

故另一部分体积
所以

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