在三棱柱中ABC-A1B1C1,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点。(1)求证:A1D⊥平面BB1C1C;(2)求证:AB1∥平面A1DC;(3)求二面

题目简介

在三棱柱中ABC-A1B1C1,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点。(1)求证:A1D⊥平面BB1C1C;(2)求证:AB1∥平面A1DC;(3)求二面

题目详情

在三棱柱中ABC-A1B1C1,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点。
(1)求证:A1D⊥平面BB1C1C;
(2)求证:AB1∥平面A1DC;
(3)求二面角D-A1C-A的余弦值。
题型:解答题难度:中档来源:0127 模拟题

答案

解:(1)证明:因为侧面均为正方形,
所以
所以平面,三棱柱是直三棱柱
因为平面
所以,        
又因为,D为中点,
所以
因为
所以平面
 
(2)证明:连结,交于点O,连结
因为为正方形,
所以O为中点,
又D为中点,
所以OD为中位线,
所以
因为平面平面
所以平面
(3)因为侧面均为正方形,
所以两两互相垂直,如图所示建立直角坐标系
,则
设平面的法向量为,则有


又因为平面
所以平面的法向量为

因为二面角是钝角,
所以,二面角的余弦值为
 

更多内容推荐