一个多面体的三视图和直观图如图所示,其中正视图和俯视图均为矩形,侧视图为直角三角形,M,G分别是AB,DF的中点。(1)求证:CM⊥平面FDM;(2)在线段AD上确定一点P,使得CP∥平-高三数学

题目简介

一个多面体的三视图和直观图如图所示,其中正视图和俯视图均为矩形,侧视图为直角三角形,M,G分别是AB,DF的中点。(1)求证:CM⊥平面FDM;(2)在线段AD上确定一点P,使得CP∥平-高三数学

题目详情

一个多面体的三视图和直观图如图所示,其中正视图和俯视图均为矩形,侧视图为直角三角形,M,G分别是AB,DF的中点。
(1)求证:CM⊥平面FDM;
(2)在线段AD上确定一点P,使得CP∥平面FMC,并给出证明;
(3)求直线DM与平面ABEF所成的角。
题型:解答题难度:偏难来源:专项题

答案

解:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=a。
(1)证明:显然FD⊥平面ABCD,又CM平面ABCD,
∴FD⊥CM
在矩形ABCD中,CD=2a,AD=a,M为AB中点,DM=CM=
∴CM⊥DM
∵FD平面FDM,DM平面FDM,
∴CM⊥平面FDM。

(2)点P在A点处
证明:取DC中点S连接AS,GS,GA
∵G是DF的中点,GS∥FC,AS∥CM,
∴面CSA∥面FMC,而GA面CSA,
∴GP∥平面FMC。
(3)在平面ADF上,过D作AF的垂线,垂足为H,连DM,则DH⊥平面ABEF,
∠DMH是DM与平面ABEF所成的角
在Rt△DHM中,


所以DM与平面ABEF所成的角为

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