如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2。将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示。(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACD;(

题目简介

如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2。将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示。(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACD;(

题目详情

如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2。将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示。
(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACD;
(Ⅱ)求几何体A-BCD的体积。
题型:解答题难度:中档来源:0113 期末题

答案

(Ⅰ)证明:在图1中,可得,从而,故AC⊥BC,
取AC的中点O,连结DO,则DO⊥AC,
又面ADC⊥面ABC,面ADC∩面ABC=AC,DO面ACD,
从而OD⊥平面ABC,
∵BC面ABC,
∴OD⊥BC,
又AC⊥BC,AC∩OD=O,
∴BC⊥平面ACD。
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知BC为三棱锥B-ACD的高,
所以
∴几何体A-BCD的体积为

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