在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角形,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,E是AD的中点,F是PC的中点,(Ⅰ)求证:BE⊥平面PAD;(Ⅱ)求证:EF∥

题目简介

在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角形,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,E是AD的中点,F是PC的中点,(Ⅰ)求证:BE⊥平面PAD;(Ⅱ)求证:EF∥

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在四棱锥P- ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角形,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,E是AD的中点,F是PC的中点,
(Ⅰ)求证:BE⊥平面PAD;
(Ⅱ)求证:EF∥平面PAB;
(Ⅲ)求直线EF与平面PBE所成角的余弦值.
题型:解答题难度:中档来源:海南省模拟题

答案

(Ⅰ)证明:∵E是AD的中点,连结PE,
∴AB=2,AE=1,
BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos∠BAD=4+1-2×2×1×cos60°=3,
∴AE2+BE2=1+3=4=AB2,
∴BE⊥AE,
又平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD,
∴BE⊥平面PAD. 
(Ⅱ)证明:取PB中点为H,连接FH,AH,
,又因为HF是△PBC的中位线,
,∴
∴AHFE是平行四边形,
∴EF∥AH,
平面PAB,AH平面PAB,
∴EF∥平面PAB。
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知,BC⊥BE,PE⊥BC,
又PE,BE是平面PBE内两相交直线,
∴BC⊥平面PBE,又由(Ⅱ)知,HF∥BC,
∴FH⊥平面PBE,
∴∠FEH是直线EF与平面PBE所成的角,
易知,
在Rt△PEB中,
,∴
故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为

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