三棱柱中,∠ABC=90°,BB1⊥底面ABC,D为棱AC的中点,且AB=BC=BB1=1。(1)求二面角A1-BD-C的余弦值;(2)棱CC1上是否存在一点P,使PD⊥平面A1BD;若存在,试确定P

题目简介

三棱柱中,∠ABC=90°,BB1⊥底面ABC,D为棱AC的中点,且AB=BC=BB1=1。(1)求二面角A1-BD-C的余弦值;(2)棱CC1上是否存在一点P,使PD⊥平面A1BD;若存在,试确定P

题目详情

三棱柱中,∠ABC=90°,BB1⊥底面ABC,D为棱AC的中点,且AB=BC=BB1=1。
(1)求二面角A1-BD-C的余弦值;
(2)棱CC1上是否存在一点P,使PD⊥平面A1BD;若存在,试确定P点位置,若不存在,请说明理由。
题型:解答题难度:中档来源:0103 期中题

答案

解:(1)以B为坐标原点,射线BC为x轴的正半轴,
建立如图所示的直角坐标系B-xyz, A(0,1,0),C(1,0,0),

设平面的一个法向量


令x=1,可得
又平面BDC的一个法向量为
设二面角的大小为,可知为钝角,故
(2)设P(1,0,z),则
要使PD⊥平面,则需
可得,故
即当P是CC1的中点时,所以PD⊥平面

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