如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=AD,E是线段AB的中点,(Ⅰ)求证:PE⊥CD;(Ⅱ)

题目简介

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=AD,E是线段AB的中点,(Ⅰ)求证:PE⊥CD;(Ⅱ)

题目详情

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB= 90°, AD∥BC,AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=AD,E是线段AB的中点,
(Ⅰ)求证:PE⊥CD;
(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积;
(Ⅲ)求PC与平面PDE所成角的正弦值。
题型:解答题难度:中档来源:北京模拟题

答案

(Ⅰ)证明:因为AD⊥侧面PAB,PE平面PAB,
所以AD⊥PE,
又因为△PAB是等边三角形,E是线段AB的巾点,
所以PE⊥AB,
因为AD∩AB=A,
所以PE⊥平面ABCD,而CD平面ABCD,
所以PE⊥CD。
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知:PE⊥平面ABCD,
所以PE是四棱锥P-ABCD的高,
由DA=AB=2,BC=AD,可得BC=1,
因为△PAB是等边三角形,
可求得
所以,
(Ⅲ)解:以E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,


为平面PDE的法向量,
,即
令x=1,可得
设PC与平面PDE所成的角为θ,

所以,PC与平面PDE所成的角的正弦值为

更多内容推荐