如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D′，且平面D′AE⊥平面ABCE。（Ⅰ）求证：AD′⊥EB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABD′所成角的

题目简介

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D′，且平面D′AE⊥平面ABCE。

（Ⅰ）求证：AD′⊥EB；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD′所成角的正弦值。

题型：解答题难度：中档来源：0103 模拟题

（Ⅰ）证明：在Rt△BCE中，， ∴， ∵平面D′AE⊥平面ABCE，且交线为AE， ∴BE⊥平面D′AE，又∵AD′平面AED′， ∴AD′⊥BE。
（Ⅱ）设AC与BE相交于点F，由（Ⅰ）知，AD′⊥BE， ∵，又∵AD′平面AED′，且交线为BD′，如图，作，垂足为G，则FG⊥平面ABD′，连结AG，则∠FAG就是直线AC与平面ABD′所成的角，由平面几何的知识可知， ∴，在Rt△AEF中，，由可求得， ∴，所以直线与平面所成角的正弦值为。