如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=,∠PAB=60°。(1)证明:AD⊥平面PAB;(2)求二面角P-BD-A的大小。-高二数学

题目简介

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=,∠PAB=60°。(1)证明:AD⊥平面PAB;(2)求二面角P-BD-A的大小。-高二数学

题目详情

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2, PD=,∠PAB=60°。  
(1)证明:AD⊥平面PAB;
(2)求二面角P-BD-A的大小。
题型:解答题难度:中档来源:0103 期末题

答案

(1)证明:在△PAD中,
由题设,PA=2,AD=2,PD=
可得PA2+AD2=PD2,
于是AD⊥PA,
在矩形ABCD中,AD⊥AB,
又PA∩AB=A,
∴AD⊥平面PAB。

(2)解:过点P作PH⊥AB于H,过H作HE⊥BD于E,
连结PE,
∵AD⊥平面PAB,PH平面PAB,
∴AD⊥PH,
又AD∩AB=A,
∴PH⊥平面ABCD,
故HE为PE在平面ABCD内的射影,
由三垂线定理,可知BD⊥PE,
从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角,
由题设,可得
PH=PA·sin60°=,AH=PA·cos60°=1,
BH=AB-AH=2,BD=
HE=
于是在Rt△PHE中,tan∠PEH=
所以二面角P-BD-A的大小为arctan

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