如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=,∠PAB=60°。(1)证明:AD⊥平面PAB;(2)求二面角P-BD-A的大小。-高二数学
(2)解:过点P作PH⊥AB于H,过H作HE⊥BD于E,连结PE,∵AD⊥平面PAB,PH平面PAB,∴AD⊥PH,又AD∩AB=A,∴PH⊥平面ABCD,故HE为PE在平面ABCD内的射影,由三垂线定理,可知BD⊥PE,从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角,由题设,可得PH=PA·sin60°=,AH=PA·cos60°=1, BH=AB-AH=2,BD=,HE=,于是在Rt△PHE中,tan∠PEH=,所以二面角P-BD-A的大小为arctan。
题目简介
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=,∠PAB=60°。(1)证明:AD⊥平面PAB;(2)求二面角P-BD-A的大小。-高二数学
题目详情
(2)求二面角P-BD-A的大小。
答案
由题设,PA=2,AD=2,PD=
可得PA2+AD2=PD2,
于是AD⊥PA,
在矩形ABCD中,AD⊥AB,
又PA∩AB=A,
∴AD⊥平面PAB。
(2)解:过点P作PH⊥AB于H,过H作HE⊥BD于E,
平面PAB,
,AH=PA·cos60°=1,
,
,
,
。
连结PE,
∵AD⊥平面PAB,PH
∴AD⊥PH,
又AD∩AB=A,
∴PH⊥平面ABCD,
故HE为PE在平面ABCD内的射影,
由三垂线定理,可知BD⊥PE,
从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角,
由题设,可得
PH=PA·sin60°=
BH=AB-AH=2,BD=
HE=
于是在Rt△PHE中,tan∠PEH=
所以二面角P-BD-A的大小为arctan