如图,四棱锥P-ABCD,△PAB≌△CBA,在它的俯视图ABCD中,BC=CD,AD=1,∠BCD=∠BAD=60°。(1)求证:△PBC是直角三角形;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.-高三数学

题目简介

如图,四棱锥P-ABCD,△PAB≌△CBA,在它的俯视图ABCD中,BC=CD,AD=1,∠BCD=∠BAD=60°。(1)求证:△PBC是直角三角形;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.-高三数学

题目详情

如图,四棱锥P-ABCD,△PAB≌△CBA,在它的俯视图ABCD中,BC=CD,AD=1,∠BCD=∠BAD=60°。
(1)求证:△PBC是直角三角形;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积.
题型:解答题难度:中档来源:广东省模拟题

答案

(1)证明:由已知,点P在底面ABCD上的投影是点A,所以PA⊥ABCD,
因为AB、,所以PA⊥AB,PA⊥BC,
因为△PAB≌△CBA,所以∠ABC=∠BAP=90°,AB⊥BC,
因为PA∩AB=A,
所以,BC⊥平面PAB,
所以,BC⊥PB,△PBC是直角三角形。
(2)解:连接BD,因为BC=CD,∠BCD=60°,所以△BCD是等边三角形,
在△ABD中,根据多边形内角和定理计算得∠ADB=90°,
又因为∠BAD=60°,所以
所以,
所以,

所以,四棱锥P-ABCD的体积

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