如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.(1)证明:PA∥平面BDE;(2)证明:平面BDE⊥平面PBC.-高二数学

题目简介

如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.(1)证明:PA∥平面BDE;(2)证明:平面BDE⊥平面PBC.-高二数学

题目详情

如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(1)证明:PA平面BDE;
(2)证明:平面BDE⊥平面PBC.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明:(1)连结AC,设AC与BD交于O点,连结EO.
∵底面ABCD是正方形,
∴O为AC的中点,又E为PC的中点,
∴OEPA,
∵OE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE,
∴PA平面BDE.…(6分)
(2)∵PD=DC,E是PC的中点,
∴DE⊥PC.
∵PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥AD.又由于AD⊥CD,PD∩CD=D,故AD⊥底面PCD,
所以有AD⊥DE.又由题意得ADBC,故BC⊥DE.
于是,由BC∩PC=C,DE⊥PC,BC⊥DE可得DE⊥底面PBC.
故可得平面BDE⊥平面PBC.…(12分)

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