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如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,△ABE为等腰三角形,AE=BE,平面ABCD⊥平面ABE,点F在CE上,且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)判断平面ADE与平面BCE是否垂直,并说明理由;(Ⅱ)求点D
题目简介
如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,△ABE为等腰三角形,AE=BE,平面ABCD⊥平面ABE,点F在CE上,且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)判断平面ADE与平面BCE是否垂直,并说明理由;(Ⅱ)求点D
题目详情
如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,△ABE为等腰三角形,AE=BE,平面ABCD⊥平面ABE,点F在CE上,且BF⊥平面ACE.
(Ⅰ)判断平面ADE与平面BCE是否垂直,并说明理由;
(Ⅱ)求点D到平面ACE的距离.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)因为BF⊥平面ACE,所以BF⊥AE.(2分)
因为平面ABCD⊥平面ABE,BC⊥AB,
平面ABCD∩平面ABE=AB,所以BC⊥平面ABE,
从而BC⊥AE.(5分)
于是AE⊥平面BCE,故平面ADE⊥平面BCE.(6分)
(Ⅱ)方法一:连接BD交AC与点M,则点M是BD的中点,
所以点D与点B到平面ACE的距离相等.
因为BF⊥平面ACE,所以.(8分)
因为AE⊥平面BCE,所以AE⊥BE.
又AE=BE,所以△AEB是等腰直角三角形.
因为AB=2,所以BE=2sin45°=
2
.(9分)
在Rt△CBE中,CE=
BC
2
+
BE
2
=
6
.(10分)
所以BF=
class="stub"BC×BE
CE
=
2
2
6
=
2
3
3
.
故点D到平面ACE的距离是
2
3
3
.
方法二:过点E作EG⊥AB,垂足为G,
因为平面ABCD⊥平面ABE,所以EG⊥平面ABCD.
因为AE⊥平面BCE,所以AE⊥BE.又AE=BE,
所以△AEB是等腰直角三角形,
从而G为AB的中点.又AB=2,所以EG=1.(8分)
因为AE⊥平面BCE,所以AE⊥EC.
又AE=BE=2sin45°=
2
,CE=
BC
2
+
BE
2
=
6
.(.(10分)
设点D到平面ACE的距离为h,因为VD-ACE=VE-ACD,
则
class="stub"1
3
S
△ACE
• h=
class="stub"1
3
S
△ACD
•EG
.
所以
h=
class="stub"1
2
AD•DC•EG
class="stub"1
2
AE• EC
=
class="stub"2×2×1
2
×
6
=
2
3
3
,
故点D到平面ACE的距离是
2
3
3
.(12分)
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又AE=BE,所以△AEB是等腰直角三角形.
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在Rt△CBE中,CE=
所以BF=
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又AE=BE=2sin45°=
设点D到平面ACE的距离为h,因为VD-ACE=VE-ACD,
则
所以h=
故点D到平面ACE的距离是