如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,△ABE为等腰三角形,AE=BE,平面ABCD⊥平面ABE,点F在CE上,且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)判断平面ADE与平面BCE是否垂直,并说明理由;(Ⅱ)求点D

题目简介

如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,△ABE为等腰三角形,AE=BE,平面ABCD⊥平面ABE,点F在CE上,且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)判断平面ADE与平面BCE是否垂直,并说明理由;(Ⅱ)求点D

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如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,△ABE为等腰三角形,AE=BE,平面ABCD⊥平面ABE,点F在CE上,且BF⊥平面ACE.
(Ⅰ)判断平面ADE与平面BCE是否垂直,并说明理由;
(Ⅱ)求点D到平面ACE的距离.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案


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(Ⅰ)因为BF⊥平面ACE,所以BF⊥AE.(2分)
因为平面ABCD⊥平面ABE,BC⊥AB,
平面ABCD∩平面ABE=AB,所以BC⊥平面ABE,
从而BC⊥AE.(5分)
于是AE⊥平面BCE,故平面ADE⊥平面BCE.(6分)

(Ⅱ)方法一:连接BD交AC与点M,则点M是BD的中点,
所以点D与点B到平面ACE的距离相等.
因为BF⊥平面ACE,所以.(8分)
因为AE⊥平面BCE,所以AE⊥BE.
又AE=BE,所以△AEB是等腰直角三角形.
因为AB=2,所以BE=2sin45°=
2
.(9分)
在Rt△CBE中,CE=
BC2+BE2
=
6
.(10分)
所以BF=class="stub"BC×BE
CE
=
2
2
6
=
2
3
3

故点D到平面ACE的距离是
2
3
3


方法二:过点E作EG⊥AB,垂足为G,
因为平面ABCD⊥平面ABE,所以EG⊥平面ABCD.
因为AE⊥平面BCE,所以AE⊥BE.又AE=BE,
所以△AEB是等腰直角三角形,
从而G为AB的中点.又AB=2,所以EG=1.(8分)
因为AE⊥平面BCE,所以AE⊥EC.
又AE=BE=2sin45°=
2
,CE=
BC2+BE2
=
6
.(.(10分)
设点D到平面ACE的距离为h,因为VD-ACE=VE-ACD,
class="stub"1
3
S△ACE• h= class="stub"1
3
S△ACD •EG

所以h=
class="stub"1
2
AD•DC•EG
class="stub"1
2
AE• EC
=class="stub"2×2×1
2
×
6
=
2
3
3

故点D到平面ACE的距离是
2
3
3
.(12分)

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