如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=32.(Ⅰ)求证:OM∥平面ABD;(Ⅱ)求证:平面AB

题目简介

如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=32.(Ⅰ)求证:OM∥平面ABD;(Ⅱ)求证:平面AB

题目详情

如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=3
2

(Ⅰ)求证:OM平面ABD;
(Ⅱ)求证:平面ABC⊥平面MDO;
(Ⅲ)求三棱锥M-ABD的体积.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)证明:因为点O是菱形ABCD的对角线的交点,
所以O是AC的中点.又点M是棱BC的中点,
所以OM是△ABC的中位线,OMAB.…(2分)
因为OM⊄平面ABD,AB⊂平面ABD,
所以OM平面ABD.…(4分)
(Ⅱ)证明:由题意,OM=OD=3,
因为DM=3
2
,所以∠DOM=90°,OD⊥OM.…(6分)
又因为菱形ABCD,所以OD⊥AC.…(7分)
因为OM∩AC=O,
所以OD⊥平面ABC,…(8分)
因为OD⊂平面MDO,
所以平面ABC⊥平面MDO.…(9分)
(Ⅲ)三棱锥M-ABD的体积等于三棱锥D-ABM的体积.…(10分)
由(Ⅱ)知,OD⊥平面ABC,
所以OD=3为三棱锥D-ABM的高.…(11分)
△ABM的面积为class="stub"1
2
BA×BM×sin120°=class="stub"1
2
×6×3×
3
2
=
9
3
2
,…(12分)
所求体积等于class="stub"1
3
×S△ABM×OD=
9
3
2
.…(13分)

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