如图已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC=BC,M,N,P,Q分别是AA1,BB1,AB,B1C1的中点,(1)求证:面PCC1⊥面MNQ;(2)求证:PC1∥面MNQ.-高二数

题目简介

如图已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC=BC,M,N,P,Q分别是AA1,BB1,AB,B1C1的中点,(1)求证:面PCC1⊥面MNQ;(2)求证:PC1∥面MNQ.-高二数

题目详情

如图已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC=BC,M,N,P,Q分别是AA1,BB1,AB,B1C1的中点,
(1)求证:面PCC1⊥面MNQ;
(2)求证:PC1面MNQ.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明:(1)∵AC=BC,P是AB的中点
∴AB⊥PC
∵AA1⊥面ABC,CC1AA1,
∴CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内
∴CC1⊥AB,
∵CC1∩PC=C
∴AB⊥面PCC1;
又∵M,N分别是AA1、BB1的中点,
四边形AA1B1B是平行四边形,MNAB,
∴MN⊥面PCC1.
∵MN在平面MNQ内,
∴面PCC1⊥面MNQ;(4分)

(2)连PB1与MN相交于K,连KQ,
∵MNPB,N为BB1的中点,
∴K为PB1的中点.
又∵Q是C1B1的中点
∴PC1KQ而KQ⊂平面MNQ,PC1⊄平面MNQ
∴PC1面MNQ.(9分)

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