如图,直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面,PA⊥平面ABC,DC=BC=2PA,E为DB的中点。(1)证明:AE⊥BC;(2)若点F是线段BC上的动点,设面PFE与面PBE所成的平面角大

题目简介

如图,直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面,PA⊥平面ABC,DC=BC=2PA,E为DB的中点。(1)证明:AE⊥BC;(2)若点F是线段BC上的动点,设面PFE与面PBE所成的平面角大

题目详情

如图,直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面,PA⊥平面ABC,DC=BC=2PA,E为DB的中点。
(1)证明:AE⊥BC;  
(2)若点F是线段BC上的动点,设面PFE与面PBE所成的平面角大小为,当内取值时,求直线PF与平面DBC所成的角的范围。
题型:解答题难度:中档来源:0103 期中题

答案

(1)证明:取BC的中点O,连接EO,AO,则EO//DC,
所以EO⊥BC,
因为△ABC为等边三角形,所以BC⊥AO,
所以BC⊥面AEO,
故BC⊥AE。
(2)解:连接PE,
因为面BCD⊥面ABC,DC⊥BC,
所以DC⊥面ABC,
而EODC,
所以EOPA,故四边形APEO为矩形,
易证PE⊥面BCD,
连接EF,则∠PFE为PF与面DBC所成的角, 
又PE⊥面BCD,
所以
∴∠BEF为面PBE与面PFE所成的角,即
此时点F即在线段BO上移动,设DC=BC=2PA=2,则

所以直线PF与平面DBC所成的角的范围为

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