如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上。(1)证明:AP⊥BC;(2)已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2。求二面角B-AP-C的大小。-

题目简介

如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上。(1)证明:AP⊥BC;(2)已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2。求二面角B-AP-C的大小。-

题目详情

如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上。
(1)证明:AP⊥BC;
(2)已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2。求二面角B-AP-C的大小。
题型:解答题难度:中档来源:浙江省高考真题

答案

解:(1)由AB=AC,D是BC的中点,得AD⊥BC
又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC
因为PO∩AD=O,
所以BC⊥平面PAD
故BC⊥PA;
(2)如图,在平面PAB内作BM⊥PA于M,连CM
因为BC⊥PA,得AP⊥平面BMC
所以AP⊥CM
故∠BMC为二面角B-AP-C的平面角
在Rt△ADB中,AB2=AD2+BD2=41,得AB=
在Rt△POD中,PD2=PO2+OD2
在Rt△PDB中,PB2=PD2+BD2
所以PB2=PO2+OD2+BD2=36,得PB=6
在Rt△POB中,PA2=AO2+OP2=25,得PA=5

从而
所以
同理CM
因为BM2+MC2=BC2
所以=90°
即二面角B-AP-C的大小为90°。

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