如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC,(Ⅰ)求证:BC⊥平面PAC;(Ⅱ)当D为PB的中点时,求AD

题目简介

如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC,(Ⅰ)求证:BC⊥平面PAC;(Ⅱ)当D为PB的中点时,求AD

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如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC,
(Ⅰ)求证:BC⊥平面PAC;
(Ⅱ)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的大小;
(Ⅲ)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角?并说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:北京高考真题

答案

(Ⅰ)证明:∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥BC,
又∠BCA=90°,
∴AC⊥BC,
∴BC⊥平面PAC。
(Ⅱ)解:∵D为PB的中点,DE∥BC,∴
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E,
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴
在Rt△ABC中,∠ABC=60°,∴
∴在Rt△ADE中,
∴AD与平面PAC所成的角的大小为
(Ⅲ)解:∵DE∥BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,
∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角,
∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AC,
∴∠PAC=90°,∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时,∠AEP=90°,
故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角。

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