已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1。（I）求证：AC1⊥平面A1BC；（II）求CC1到平面A1AB的距离

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已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁。

（I）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（II）求CC₁到平面A₁AB的距离；
（III）求二面角A-A₁B-C的大小。

题型：解答题难度：中档来源：0103 期末题

答案

（1）证明：因为A1D⊥平面ABC，
所以，平面AA1C1C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，
所以，BC⊥平面AA1C1C，得BC⊥AC1，
又BA1⊥AC1，
所以，AC1⊥平面A1BC。

（2）解：因为AC1⊥A1C，所以四边形AA1C1C为菱形，故AA1=AC=2，
又D为AC中点，知∠A1AC=60°，
取AA1的中点F，则AA1⊥平面BCF，
从而，平面A1AB⊥平面BCF，
过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A1AB，
在Rt△BCF，BC=2，CF=，故，
即CC1到平面A1AB的距离为。
（3）过H作HG⊥A1B于G，连CG，则CG⊥A1B，
从而∠CGH为二面角A-A1B-C的平面角，
在Rt△A1BC中，A1C=BC=2，所以，CG=，
在Rt△CGH中，，
故二面角A-A1B-C的大小为。

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已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1。（I）求证：AC1⊥平面A1BC；（II）求CC1到平面A1AB的距离

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