如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，(Ⅰ)证明：CD⊥AE；(Ⅱ)证明：PD⊥平面ABE；(Ⅲ)求二面角A-P

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如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，
(Ⅰ)证明：CD⊥AE；
(Ⅱ)证明：PD⊥平面ABE；
(Ⅲ)求二面角A-PD-C的大小。

题型：解答题难度：中档来源：天津高考真题

答案

(Ⅰ)证明：在四棱锥P-ABCD中，
因PA⊥底面平面ABCD，
故PA⊥CD，
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，
而平面PAC，
∴AE⊥CD。
(Ⅱ)证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，
可得AC=PA，
∵E是PC的中点，
∴AE⊥PC，
由(Ⅰ)知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，
所以AE⊥平面PCD，
而平面PCD，
∴AE⊥PD，
∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内射影是AD，AB⊥AD，
∴AB⊥PD，
又AB∩AE=A，
综上得PD⊥平面ABE。

(Ⅲ)解：过点A作AM⊥PD，垂足为M，连结EM，
由(Ⅱ)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，
则EM⊥PD，因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角，
由已知，得，
设AC=a，可得，
在中，
∵AM⊥PD，
∴AM·PD=PA·AD，
则，
在中，，
所以二面角A-PD-C的大小是。

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如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，(Ⅰ)证明：CD⊥AE；(Ⅱ)证明：PD⊥平面ABE；(Ⅲ)求二面角A-P

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