如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点,(Ⅰ)求证:AB1⊥平面A1BD;(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的大小。-高三数学
解:(Ⅰ)取BC中点O,连结AO,∵△ABC为正三角形,∴AO⊥BC,∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,∴AO⊥平面BCC1B1,连结B1O,在正方形BB1C1C中,O、D分别为BC、CC1的中点,∴B1O⊥BD,∴AB1⊥BD,在正方形ABB1A1中,AB1⊥A1B, ∴AB1⊥平面A1BD。(Ⅱ)设AB1与A1B交于点C,在平面A1BD中,作GF⊥A1D于F,连结AF,由(Ⅰ)得AB1⊥平面A1BD,∴∠AFG为二面角A-A1B-B的平面角,在△AA1D中,由等面积法可求得AF=,又∵AG=,∴,所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin。
题目简介
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点,(Ⅰ)求证:AB1⊥平面A1BD;(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的大小。-高三数学
题目详情
(Ⅰ)求证:AB1⊥平面A1BD;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的大小。
答案
解:(Ⅰ)取BC中点O,连结AO,
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∵△ABC为正三角形,
∴AO⊥BC,
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1,
连结B1O,在正方形BB1C1C中,O、D分别为BC、CC1的中点,
∴B1O⊥BD,
∴AB1⊥BD,
在正方形ABB1A1中,AB1⊥A1B,
∴AB1⊥平面A1BD。
(Ⅱ)设AB1与A1B交于点C,
在平面A1BD中,作GF⊥A1D于F,连结AF,
由(Ⅰ)得AB1⊥平面A1BD,
∴∠AFG为二面角A-A1B-B的平面角,
在△AA1D中,由等面积法可求得AF=
又∵AG=
∴
所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin