如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC。(1)求证:PC⊥AB;(2)求二面角B-AP-C的大小。-高三数学

题目简介

如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC。(1)求证:PC⊥AB;(2)求二面角B-AP-C的大小。-高三数学

题目详情

如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC。
(1)求证:PC⊥AB;
(2)求二面角B-AP-C的大小。
题型:解答题难度:中档来源:北京高考真题

答案

解:(1)取AB中点D,连结PD,CD
∵AP=BP,
∴PD⊥AB
∵AC=BC
∴CD⊥AB
∵PD∩CD=D
∴AB⊥平面PCD
∵PC平面PCD,
∴PC⊥AB。
(2)∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC
又PC⊥AC,
∴PC⊥BC
又∠ACB=90°,即AC⊥BC,且AC∩PC=C,
∴AB=BP,
∴BE⊥AP
∵EC是BE在平面PAC内的射影,
∴CE⊥AP
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角
在△BCE中,∠BCE=90°,BC=2,BE=
∴sin∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arcsin

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