如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CB=1,CA=,,AA1=,M为侧棱CC1上一点,AM⊥BA1。(1)求证:AM⊥平面A1BC;(2)求二面角B-AM-C的大小;(3)求点

题目简介

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CB=1,CA=,,AA1=,M为侧棱CC1上一点,AM⊥BA1。(1)求证:AM⊥平面A1BC;(2)求二面角B-AM-C的大小;(3)求点

题目详情

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CB=1,CA=,,AA1=,M为侧棱CC1上一点,AM⊥BA1
(1)求证:AM⊥平面A1BC;
(2)求二面角B-AM-C的大小;
(3)求点C到平面ABM的距离。
题型:解答题难度:中档来源:0105 模拟题

答案

解:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,易知面ACC1A1⊥面ABC,
∵∠ACB = 90°,
∴BC⊥面ACC1A1, 
∵AM面ACC1A1
∴BC⊥AM
∵AM⊥BA1,且BC∩BA1=B
∴AM⊥平面A1BC;
(2)以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则




=0

所以
设向量为平面AMB的法向量,则

令x=1的平面AMB的一个法向量为
显然向量是平面AMC的一个法向量

易知,所夹的角等于二面角B - AM - C的大小,
故所求二面角的大小为45°。
(3)向量在法向量上的投影的长即为所求距离

∴点C到平面ABM的距离为

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