如图,在四棱柱ABCD-PGFE中,侧棱PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠ABC=45°,DC=1,AB=2,PA=1,(Ⅰ)求PC与AB所成角的余弦值;(Ⅱ)求证:BC⊥平面

题目简介

如图,在四棱柱ABCD-PGFE中,侧棱PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠ABC=45°,DC=1,AB=2,PA=1,(Ⅰ)求PC与AB所成角的余弦值;(Ⅱ)求证:BC⊥平面

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如图,在四棱柱ABCD-PGFE中,侧棱PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠ABC=45°,DC=1,AB=2,PA=1,
(Ⅰ)求PC与AB所成角的余弦值;
(Ⅱ)求证:BC⊥平面PAC;
(Ⅲ)求二面角E-AC-B的正弦值。
题型:解答题难度:中档来源:天津模拟题

答案

(Ⅰ)∵AB∥DC,
∴∠PCD就是PC与AB所成角,
在直角梯形ABCD中,过C作CS⊥AB于点S,
则四边形ADCS为矩形,
∴AS=DC=1,
又AB=2,∴BS=1,
在Rt△BSC中,∠ABC=45°,
∴CS=BS=1,
∴AD=CS=1,
∵PA⊥平面ABCD,AD,AC平面ABCD,
∴PA⊥AD,PA⊥AC,



∴PC2=PD2+CD2CD⊥PD,
所以PC与AB所成角的余弦值为
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知:AC2+BC2=AB2,
∴BC⊥AC,
又∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥BC,
∵PA∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC.
 (Ⅲ)连接EA,EC,则EA=EC=
连接DS交AC于O,连接EO,ES,SO,
因为O是AC中点,
所以EO⊥AC,SO⊥AC,
所以∠SOE就是二面角E-AC-B的平面角,

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