如图,在三棱锥S-ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC的中点.(1)证明:SO⊥平面ABC;(2)求二面角A-SC-B的余弦值-高二数学

题目简介

如图,在三棱锥S-ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC的中点.(1)证明:SO⊥平面ABC;(2)求二面角A-SC-B的余弦值-高二数学

题目详情

如图,在三棱锥S-ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90 °,O为BC的中点.
(1) 证明:SO⊥平面ABC ;  
(2) 求二面角A-SC-B的余弦值
题型:解答题难度:中档来源:期末题

答案

(1)证明:由题设知AB=AC=SB=SC=SA,连结OA,△ABC为等腰直角三角形,
所以OA=OB=OC=,且AO⊥BC,
又△SBC为等腰三角形,故SO⊥BC,且SO=
从而OA2+SO2=SA2.
所以△SOA为直角三角形,SO⊥AO.
又AO∩BO=O.
所以SO⊥平面ABC.
(2)解:取SC的中点M,连结AM,OM,
由(1)知SO=OC,SA=AC.得OM⊥SC,AM⊥SC.
∴∠OMA为二面角A-SC-B的平面角.
由AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC=O得AO⊥平面SBC.
所以AO⊥OM.
又AM=
故sin∠AMO=,cos∠AMO=
所以二面角A-SC-B的余弦值为.

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