如图1,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E,F分别为AC,AB的中点,将△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O在线段EC上,得到图2,(Ⅰ)求证:EF⊥A′C;(Ⅱ)若二面角A′

题目简介

如图1,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E,F分别为AC,AB的中点,将△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O在线段EC上,得到图2,(Ⅰ)求证:EF⊥A′C;(Ⅱ)若二面角A′

题目详情

如图1,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E,F分别为AC,AB的中点,将△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O在线段EC上,得到图2,
(Ⅰ)求证:EF⊥A′C;
(Ⅱ)若二面角A′-EF-B的大小为60°,求三棱锥F-A′BC的体积。
题型:解答题难度:中档来源:湖南省模拟题

答案

(Ⅰ)证明:在△ABC中,EF是等腰直角△ABC的中位线,
∴EF⊥AC,
在四棱锥A′-BCEF中,EF⊥A′E,EF⊥EC,
又EC∩A′E=E,
∴EF⊥平面A′EC,
又A′C平面A′EC,
∴EF⊥A′C;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)证明可知EF⊥A′E,EF⊥EC,
∴二面角A′-EF-B的平面角为∠A′EC,
∴∠A′EC=60°,A′E=2,
∴A′O=A′Esin60°
在直角梯形EFBC中,EC=2,BC=4,

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