如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2,AC∩BD=O,侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°,A1O⊥平面ABCD,F为DC1的中点,(1)证明:BD⊥AA1;(2)证明:OF∥平面

题目简介

如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2,AC∩BD=O,侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°,A1O⊥平面ABCD,F为DC1的中点,(1)证明:BD⊥AA1;(2)证明:OF∥平面

题目详情

如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2,AC∩BD=O,侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°,A1O⊥平面ABCD,F为DC1的中点,
(1)证明:BD⊥AA1
(2)证明:OF∥平面BCC1B1
(3)求二面角D-AA1-C的余弦值.
题型:解答题难度:中档来源:北京期末题

答案

解:(1)∵棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2,
∴四边形ABCD为菱形,
∴BD⊥AC,
又A1O⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
∴A1O⊥BD,
又∵AC∩A1O=O,AC、A1O平面A1ACC1,
∴BD⊥平面A1ACC1,
∵AA1平面A1ACC1,
∴BD⊥AA1.
(2)连接BC1,如图所示,
∵四边形ABCD为菱形,AC∩BD=O,
∴O是BD的中点,
又∵点F为DC1的中点,
∴在△DBC1中,OF∥BC1,
∵OF平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,
∴OF∥平面BCC1B1。
(3)以O为坐标系的原点,分别以OA,OB,OA1所在直线
为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,
∵侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°,A1O⊥平面ABCD,
∴∠A1AO=60°,在Rt△A1AO中,可得AO=1,
在Rt△AOB中,
∴A(1,0,0),
设平面AA1D的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),


,令z1=1,则
又∵BD⊥平面A1ACC1,
所以,平面A1ACC1的一个法向量为

∵二面角D-AA1-C的平面角为锐角,
故二面角D-AA1-C的余弦值是

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