如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1,(Ⅰ)求证:AB⊥BC;(Ⅱ)若AA1=AC=a,直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为ψ,求证θ+ψ

题目简介

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1,(Ⅰ)求证:AB⊥BC;(Ⅱ)若AA1=AC=a,直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为ψ,求证θ+ψ

题目详情

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1
(Ⅰ)求证:AB⊥BC;
(Ⅱ)若AA1=AC=a,直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为ψ,求证θ+ψ=
题型:证明题难度:中档来源:湖北省高考真题

答案

证明:(Ⅰ)如图,过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D,
则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B,
得AD⊥平面A1BC,
又BC平面A1BC,所以AD⊥BC,
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC,
又AA1∩AD=A,
从而BC⊥侧面A1ABB1,
又AB侧面A1ABB1,
故AB⊥BC。
(Ⅱ)连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角,
∠ABA1就是二面角A1-BC-A的夹角,即∠ACD=θ,∠ABA1=ψ,
于是在RtΔADC中,sinθ=
在RtΔADA1中,sin∠AA1D==
∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角,所以θ=∠AA1D,
又由RtΔA1AB知,∠AA1D+ψ=∠AA1B+ψ=
故θ+ψ=

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