如图,边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,,M为BC的中点。(1)证明:AM⊥PM;(2)求二面角P-AM-D的大小;(3)求点D到平面AMP的距离。-高三数学

题目简介

如图,边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,,M为BC的中点。(1)证明:AM⊥PM;(2)求二面角P-AM-D的大小;(3)求点D到平面AMP的距离。-高三数学

题目详情

如图,边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,,M为BC的中点。
(1)证明:AM⊥PM;
(2)求二面角P-AM-D的大小;
(3)求点D到平面AMP的距离。
题型:解答题难度:中档来源:模拟题

答案

解:(1)取CD的中点E,连接PE、EM、EA
因为△PCD为正三角形,
所以PE⊥CD
因为平面PCD⊥平面ABCD,
所以PE⊥平面ABCD,
所以AM⊥PE
因为四边形ABCD是矩形,
所以△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理可求得
,AE=3
所以EM2+AM2=AE2,
所以AM⊥EM
又PE∩EM=E,
所以AM⊥平面PEM
所以AM⊥PM。
(2)由(1)可知EM⊥AM,PM⊥AM,
所以∠PME是二面角P-AM-D的平面角
所以
所以∠PME=45°
所以二面角P-AM-D的大小为45°。
(3)设D点到平面PAM的距离为d,连接DM,
则VP-ADM= VD-PAM,
所以

在Rt△PEM中,由勾股定理可求得
所以S△PAM=
所以
所以
即点D到平面AMP的距离为

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